大学课件 高等数学 空间直线及其方程.ppt

1,第六节空间直线及其方程,空间直线的一般方程,空间直线的对称式方程,与参数方程,两直线的夹角,直线与平面的夹角,小结思考题作业,spacerightline,第七章空间解析几何与向量代数,2,,,定义,空间直线可看成两平面的交线.,空间直线的一般方程,一、空间直线的一般方程,L,2直线L的一般方程形式不是唯一的.,,3,方向向量的定义,如果一非零向量平行于,,,二、空间直线的对称式方程与参数方程,1.对称式方程,一条直线可以有许多方向向量.,求此直线的方程,一条已知直线,,这个向量称,为这条直线的,方向向量.,,,,,,,,方向数.,4,直线的对称式方程,令,直线的参数方程,,因为,故,故,直线方程的几种形式可以互相转换.,点向式、标准式）,5,例,解,所求直线方程为,,,M1,M2,,求过两点M11,2,3,M22,6,5的直线方程.,向量,,与直线平行,,,过两点作直线,6,,,则直线的一个方向向量为,,于是对称式方程可写成,,一般,,如直线过两点,,7,,解,交点为,所求直线方程,,.A,.B,,例,,8,可将对称式方程拆为一般方程,如对称式方程为,可写成一般方程,可将直线的对称式方程,又如,,可写成一般方程,,化为一般方程吗,各类直线方程的互换,,,,9,2.直线的一般方程化为对称式方程,怎样将直线的一般方程,1用代数的消元法化为比例式;,有两种方法,,2在直线上找一定点,再求出方向向量,,重要,化为对称式方程,即写出对称式方程.,10,,,,,,,写成比例式,,例,解,法一,1,2,,两个方程中,,每一个只有两个变量,,共同的变量,即得对称式方程.,化为对称式方程.,解出,x.,此直线上一定点为,方向向量为,11,先求直线上一定点,于是得直线上的一定点,取,对称式方程,,将化为对称式方程.,因所求直线与两平面的法向量都垂直.,法二,,12,两个对称式方程,,实际上直线的对称式方程不唯一.,,都满足这两个对称式方程,,过两点确定唯一的,因此这两个对称式方程表示同一条,怎么不一样,答,当定点取得不同时对称式方程不同.,另外可验证,,两个点,一条直线,,直线.,13,,,,3.直线的参数方程,上式何时有用,,,,如求,直线的参数方程,故,,答,直线与平面的交点.,14,,,,得,,解,再代入,代入平面方程,,求直线,例,与平面,的交点.,得,15,,,解,先作一过点M且与已知直线垂直的平面,再求已知直线与该平面的交点N,,令,垂直相交的直线方程.,例,,,,16,,,,交点,取所求直线的方向向量为,,,直线方程为,想一想,,代入,得,将,,,还有别的方法吗,17,,定义,直线,直线,,两直线的方向向量的夹角称之.,两直线的夹角公式,三、两直线的夹角,（锐角）,,18,两直线的位置关系,//,直线,直线,例,两直线垂直、平行的条件,19,与直线,及,都平行且过原点的平面方程为.,1987,数学一考研填空,3分,提示,平面过原点,由点法式方程即可得.,法向量,1.,20,2.,1990,数学一考研填空,3分,3.,1991,数学一考研填空,3分,提示,提示,,,,,,,21,1993,数学一考研选择,3分,C,提示,,两直线的夹角公式,4.,22,,解,设所求直线的方向向量为,取,所求直线的方程,例,的交线平行的直线方程.,过已知直线外一点作直线与已知直线平行,,,,,23,,直线和它在平面上的投影直线的,定义,,,四、直线与平面的夹角,夹角,称之.,,,,,,24,,,直线与平面的夹角公式,直线与平面的,//,直线与平面垂直、平行的充要条件,,,,,位置关系,,25,解,为所求夹角.,例,求直线与平面的夹角.,26,1995,数学一考研选择,3分,C,//,提示,27,平面束的方程,设有两块不平行的平面,其中系数不互相成比例,交成一条直线L,过直线L的所求全体平面,,平面束,3表示过直线L的平面,,28,解,,,想一想还有别的方法吗,,,将点代入1中,得,,,例,过已知直线的平面束方程为,29,,例,解,过已知直线的平面束方程为,30,,由此得,代回平面束方程为,,,31,,上海交大考题98级,解,设平面束方程,由,即,由,,,,,32,思考题1,想一想下述问题能否转化为,用点法式确定平面方程,1过两条相交直线,确定一平面;,2过两条平行直线,确定一平面;,3过一直线与该直线外一点,确定一平面;,4过一直线垂直于已知平面,确定一平面.,设此直线不垂直于一已知平面,如何转化,33,,思考题2,想一想下述问题能否转化为,用对称式方程来确定直线方程,1过一点且与一已知平面垂直,确定一直线方程;,2过一点且与两条相交直线都垂直的直线方程;,3过一点且与一已知平面平行,与一已知直线相交的直线方程.,如何转化,,,34,,,3过一点且与一已知平面平行,与一已知直线相交的直线方程.,应注意,即有,因此在L上,即有,共面,,则由对称式求出所给直线.,,为了确定所求直线的方向向量,垂直于已给平面的法线向量,由于已知直线L与欲求直线相交,,取一已知点B,,它与欲求直线上任一点A的连线AB,必与L,,,试想想有没有别的更好方法,35,空间直线的一般方程,两直线的夹角,直线与平面的夹角,两直线垂直、平行的充要条件,直线与平面垂直、平行的充要条件,五、小结,空间直线的参数方程,关键确定直线的方向向量,空间直线的对称式方程,各类直线方程的作用及它们之间的互换,36,思考题1,求此直线方程.,作直线与定直线相交,解,,,,,,所确定的平面方程为,,37,,,即,的平面方程,故所求方程,即,38,思考题2,问,求异面直线的公垂线的长有公式可循吗,答,有.,设直线,为两异面直线,,它们分别过点,其方向向量分别为,,39,作业,习题7-6335页,3.5.7.9.11.13.14.15.16.,