大学课件 高等数学 8-2.ppt

1,方向导数概念与计算公式,梯度概念与计算,小结思考题作业,directionalderivativeandgradient,第七节方向导数与梯度,数量场与向量场的概念,第八章多元函数微分法及其应用,2,,,,1.方向导数的定义,设有二元函数,沿任何方向的变化率．,考虑函数在某点,射线是指有方向的半直线,,即,一、方向导数概念与计算公式,3,定义,如果极限,存在,,则将这个极限值称为函数,在点,记为,即,方向导数是函数沿半直线方向的变化率.,4,2.方向导数的几何意义,的几何意义为曲面,,当限制,对应的空间点,形成过,的铅垂平面与曲面的交线,,这条交线在点M有一条,记此半切线与方向,的夹角为,则由方向导数的,半切线,,定义得,,,,,,5,ρ一定为正,是函数在某点沿任何方向的变化率.,方向导数,偏导数,分别是函数在某点沿平行于坐标轴的直线,Δx、Δy可正可负,的变化率.,6,事实上,,的方向导数存在,,事实上,,,同理,,,的方向导数存在,,存在时,,7,,,,,问,反之,,存在时,,是否一定存在,,8,例如,,函数,沿方向,的方向导数,但,不存在.,即z在0,0点的偏导数不存在.,,9,证,由于函数可微,,得到,3.关于方向导数的存在及计算公式,充分条件,定理,可微,,则函数,且,则增量可表示为,两边同除以,10,,,故有方向导数,,11,注,即为,1,2,计算方向导数只需知道l,的方向及函数的,偏导数.,在定点,的方向导数为,3,4关系,方向导数存在,,偏导数存在,可微,12,,例考虑函数定点P03,1,P12,3.求函数在P0沿方向的方向导数.,解,,13,,解,由方向导数的计算公式知,1最大值;,2最小值;,3等于零,并问在怎样的方向上此方向导数有这夹角为转角,例,,14,故,,方向导数达到最大值,方向导数达到最小值,方向导数等于,和,1最大值;,2最小值;,3等于零,问在怎样的方向上此方向导数有,15,,,练习,求函数在点P2,3沿曲线,朝x增大方向的方向导数.,用参数方程表示为,它在点P的切向量为,,,解,将已知曲线,16,推广可得三元函数方向导数的定义,对于三元函数,它在空间一点,的方向导数,,可定义为,同理,,当函数在此点可微时,,那末函数在该点,沿任意方向l的方向导数都存在,,且有,17,解,令,故,其方向余弦为,1991年研究生考题,计算,5分,例,,18,故,19,,练习,求函数在点处沿,解,切线方向的方向向量注意这时t1,在此点的切线方向上,曲线,的方向导数.,20,1996年研究生考题,填空,3分,解,此方向的方向向量为,21,,,,,,问题,,二、梯度概念与计算,已知方向导数公式,方向,模,方向一致时,,方向导数取最大值,f变化率最大的方向,f的最大变化率之值,函数,沿什么方向的方向导数为最大,gradient,22,定义,记作,读作nable.,即,为函数,称向量,梯度gradient,,称为,或,算子,,或向量微分算子.,引入算符,哈米尔顿算子,,设函数,可偏导,,利用梯度的概念,,可将方向导数计算公式写成,23,梯度的基本运算公式,24,,结论,,,x轴到梯度的转角的正切为,函数在某点的梯度是这样一个向量,,方向与取得最大方向导数的方向一致,,它的,而它的模,为方向导数的最大值.,梯度的模为,25,在几何上,曲面被平面,所得曲线在xOy面上投影是一条平面曲线,等值线,梯度为等值线上的法向量,表示一个曲面,,所截得,如图,,,,,,,26,,法线的斜率为,为等值线上点P处的法向量.,所以梯度,事实上,,由于等值线,上任一点,等值线,,,,,,27,类似于二元函数,此梯度也是一个向量,其方向与取得最大方向导数的方向一致,其模为方向导数的最大值.,梯度的概念可以推广到三元函数,三元函数,在空间区域G内,则对于每一点,都可定义一个向量梯度,具有一阶连续偏导数,,28,,类似地,,设曲面,为函数,此函数在点,的梯度的方向与过点P的等量面,在这点的法线的一个方向相同,,的等量面指向数值较高的等量面,,等于函数在这个法线方向的方向导数.,且从数值较低,而梯度的模,29,解,故,例,并问在哪些点处梯度为零向量,0,0,0,处的梯度,,30,,设可导,其中,处向径,的模,,试证,证,例,为点,,31,例设函数,1求出,沿什么方向具有最大的增长率,,方向的变化率.,2,最大增长率为多少,解,1,32,沿什么方向具有最大的增长率,,2,最大增长率为多少,解,方向具有最大的增长率,,最大的增长率为,即为梯度方向.,33,1992年研究生考题,填空,3分,解,练习,34,函数,数量场数性函数,场,向量场矢性函数,可微函数,梯度场,势,势场,如温度场,电位场,密度场等,如力场,速度场等,,三、数量场与向量场的概念,,35,例,解,其方向余弦为,36,,故,,37,方向导数的概念,梯度的概念,方向导数与梯度的关系,注意方向导数是数、方向导数与一般所说偏导数的区别,注意梯度是一个向量,梯度的方向就是函数,在这点增长,最快的方向.,四、小结,数量场与向量场的概念,38,,思考题,在点,是非题,非,函数,沿梯度方向的,方向导数最大.,因此,,在1,1处最大的方向导数为,因为方向导数是数量,,而梯度是向量.,两者,不能相等.,方向导数与梯度的关系是,沿梯度方向的方向导数达到方向导数的最大值.,数值上等于梯度的模.,39,作业,习题8-7,51页,2.3.4.5.7.10.,