高等数学下册第十章习题课.ppt

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1、习 题 课 一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 线面积分的计算 第十章 一、曲线积分的计 算法 1. 基本方法 曲线积分 第一类 ( 对弧长 )第二类 ( 对坐标 ) (1) 统一积分变量 转化 定积分 用参数方程 用直角坐标方程 用极坐标方程 (2) 确定积分上下限 第一类 : 下小上大 第二类 : 下始上终 练习题 : P184 题 3 (1), (3), (6) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解答 提示 : 计算 其中 L为圆周 提示 : 利用极坐标 , 原式 = 说明 : 若用参数方程计算 , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2、P184 3 (1) P184 3(3). 计算 其中 L为摆线 上对应 t 从 0 到 2 的一段弧 . 提示 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P184 3(6). 计算 其中 由平面 y = z 截球面 提示 : 因在 上有 故 原式 = 从 z 轴正向看沿逆时针方向 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 利用对称性及重心公式简化计算 ; (2) 利用积分与路径无关的等价条件 ; (3) 利用格林公式 (注意 加辅助线的技巧 ) ; (4) 利用斯托克斯公式 ; (5) 利用两类曲线积分的联系公式 . 2. 基本 技巧 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 1. 计算

3、其中 为曲线 解 : 利用轮换对称性 , 有 利用 重心公式 知 (的 重心在原点 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 2. 计 算 其中 L 是沿逆 时针方向以原点为中心 , 解法 1 令 则 这说明积分与路径无关 , 故 a 为半径的上半圆周 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 法 2 它与 L所围区域为 D, (利用格林公式 ) 思考 : (2) 若 L 同例 2 , 如何计算下述积分 : (1) 若 L 改为 顺时针方向 ,如何计算下述积分 : 则添加辅助线段 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考题 解答 : (1) (2) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算

4、 其中 L为上半圆周 提示 : 沿逆时针方向 . 练习题 : P184 题 3(5) ; P185 题 6; 10 3(5). 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P18 5 6 . 设在右半平面 x 0 内 , 力 构成力场 ,其中 k 为常数 , 证明在此力场中 场力所作的功与所取的路径无关 . 提示 : 令 易证 F 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P185 10. 求力 沿有向闭曲线 所作的 功 , 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三 提示 : 方法 1 从 z 轴正向看去沿 顺时针方向 . 利用对称性 角形的整

5、个边界 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设三角形区域为 , 方向 向上 , 则 方法 2 利用斯托克斯公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、曲面积分的计 算法 1. 基本方法 曲面积分 第一类 ( 对面积 ) 第二类 ( 对坐标 ) 转化 二重积分 (1) 统一积分变量 代入曲面方程 (2) 积分元素投影 第一类 : 始终非负 第二类 : 有向投影 (3) 确定二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思 考 题1) 二重积分是哪一类积分 ? 答 : 第一类曲面积分的特例 . 2) 设曲面 问下列等式是否成立 ? 不对 ! 对坐标的积分与 的

6、 侧有关 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 基本技 巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算 (2) 利用高斯公式 注意公式使用条件 添加辅助面的技巧 (辅助面一般取平行坐标面的平面 ) (3) 两类曲面积分的转化 机动 目录 上页 下页 返回 结束 练 习 : P185 题 4(3) 其中 为半球面 的上侧 . 且取下侧 , 提示 : 以半球底面 原式 = P185 题 4(2) , P185 题 9 同样可利用高斯公式计算 . 记半球域为 , 高斯公式有 计算 为辅助面 , 利用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 3 . 证明 : 设 (常向量 ) 则 单位外法向向量 , 试

7、证 设 为简单闭曲面 , a 为 任意固定 向量 , n 为 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 4. 计算曲面积分 其中 , 解 : 思考 : 本题 改为椭球面 时 , 应如何 计算 ? 提示 : 在 椭球面内作辅助小球面 内侧 , 然后用高斯公式 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 5. 设 是 曲面 解 : 取足够小的正数 , 作曲面 取下侧 使其包在 内 , 为 xoy 平面上夹于 之间的部分 , 且取下侧 , 取上侧 , 计算 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二项添加辅助面 , 再用高斯公式 计算 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 6. 计算曲

8、面 积分 中 是球面 解 : 利用对称性用重心公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 7 . 设 L 是平面 与柱面 的交线 从 z 轴正向看去 , L 为逆时针方向 , 计算 解 : 记 为平面 上 L 所围部分的上侧 , D为 在 xoy 面上的投影 . 由 斯托克斯公式 公式 目录 上页 下页 返回 结束 D 的形心 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 P184 3 (2) , (4) ; 3 (2) 5 ; 8 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 在任一固定时刻 , 此卫星能监视的地球表面积是 备用题 地球的一个侦察卫星携带的广角高分 辨率摄 象机能监视其 ”视线

9、”所及地球表面的每一处的景象并摄 像 , 若地球半径为 R , 卫星距地球表面高度为 H =0.25 R , 卫星绕地球一周的时间为 T , 试求 (2) 在 解 : 如图建立坐标系 . 的时间内 , 卫星监视的地球 表面积是多少 ? 多少 ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 利用球坐标 , 任一固定时刻监视的地球表 面积为 (2) 在 时间内监视的地球表面积为 点击图片任意处 播放开始或暂停 注意盲区与重复部分 其中 S0 为盲区面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 利用球坐标 , 任一固定时刻监视的地球表 面积为 (2) 在 其中盲区面积 时间内监视的地球表面积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 斯托克斯 ( Stokes ) 公式