高等数学下册第十章课件 斯托克斯公式.ppt

,三、环流量与旋度,,斯托克斯公式,环流量与旋度,第七节,一、斯托克斯公式,*二、空间曲线积分与路径无关的条件,*四、向量微分算子,机动目录上页下页返回结束,,,第十章,一、斯托克斯Stokes公式,定理1.设光滑曲面的边界是分段光滑曲线,,斯托克斯公式,个空间域内具有连续一阶偏导数,,的,侧与的正向符合右手法则,,在包含在内的一,证,情形1与平行z轴的直线只交于,一点,,设其方程为,,,,为确定起见,不妨设取上侧如图.,则有,简介目录上页下页返回结束,则,利用格林公式,定理1目录上页下页返回结束,因此,同理可证,三式相加,即得斯托克斯公式;,定理1目录上页下页返回结束,情形2曲面与平行z轴的直线交点多于一个,,则可,通过作辅助线面把分成与z轴只交于一点的几部分,,在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,,由于沿辅助,曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,,所以对这,类曲面斯托克斯公式仍成立.,注意如果是xoy面上的一块平面区域,,则斯托克斯,公式就是格林公式,,故格林公式是斯托克斯公式的特例.,证毕,定理1目录上页下页返回结束,为便于记忆,斯托克斯公式还可写作,或用第一类曲面积分表示,定理1目录上页下页返回结束,,,,,例1.利用斯托克斯公式计算积分,其中为平面xyz1被三坐标面所截三角形的整个,解记三角形域为,取上侧,,,则,边界,方向如图所示.,利用对称性,,机动目录上页下页返回结束,例2.为柱面,与平面yz的交线,从z,轴正向看为顺时针,计算,解设为平面zy上被所围椭圆域,,且取下侧,,利用斯托克斯公式得,则其法线方向余弦,,公式目录上页下页返回结束,*二、空间曲线积分与路径无关的条件,定理2.,设G是空间一维单连通域,,具有连续一阶偏导数,,则下列四个条件相互等价,1对G内任一分段光滑闭曲线,有,2对G内任一分段光滑曲线,,与路径无关,3在G内存在某一函数u,使,4在G内处处有,机动目录上页下页返回结束,证,由斯托克斯公式可知结论成立;,自证,设函数,则,定理2目录上页下页返回结束,同理可证,故有,若3成立,则必有,因P,Q,R一阶偏导数连续,,故有,同理,证毕,定理2目录上页下页返回结束,与路径无关,并求函数,解令,积分与路径无关,,,,,因此,例3.验证曲线积分,定理2目录上页下页返回结束,三、环流量与旋度,斯托克斯公式,设曲面的法向量为,曲线的单位切向量为,则斯托克斯公式可写为,,,机动目录上页下页返回结束,令,,引进一个向量,,,定义,沿有向闭曲线的环流量.,或,①,于是得斯托克斯公式的向量形式,旋度.,机动目录上页下页返回结束,rotation,,,,,设某刚体绕定轴l转动,,M为刚体上任一,点,,建立坐标系如图,,,则,,,,,点M的线速度为,,,此即“旋度”一词的来源,旋度的力学意义,机动目录上页下页返回结束,注意与的方向形成右手系,,,斯托克斯公式①的物理意义,例4.,求电场强度,的旋度.,解,除原点外,这说明,在除点电荷所在原点外,整个电场无旋.,机动目录上页下页返回结束,的外法向量,,计算,解,例5.设,,,,机动目录上页下页返回结束,*四、向量微分算子,定义向量微分算子,它又称为▽Nabla算子,或哈密顿Hamilton算子.,则,机动目录上页下页返回结束,,则,,,,,高斯公式与斯托克斯公式可写成,,机动目录上页下页返回结束,内容小结,1.斯托克斯公式,机动目录上页下页返回结束,在内与路径无关,在内处处有,在内处处有,2.空间曲线积分与路径无关的充要条件,设P,Q,R在内具有一阶连续偏导数,则,,,,,,机动目录上页下页返回结束,3.场论中的三个重要概念,设,梯度,,,,,机动目录上页下页返回结束,散度,旋度,则,思考与练习,则,提示,三式相加即得,,机动目录上页下页返回结束,作业,P18311,3,4;21,3;31;42;6补充题证明,,,,,习题课目录上页下页返回结束,斯托克斯1819-1903,英国数学物理学家.,他是19世纪英国,数学物理学派的重要代表人物之一,,其,主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题,的有效且一般的新方法,,在1845年他导,出了著名的粘性流体运动方程后称之,为纳维–斯托克斯方程,,1847年先于,柯西提出了一致收敛的概念.,他提出的斯托克斯公式,是向量分析的基本公式.,他一生的工作先后分五卷,出版.,机动目录上页下页返回结束,,