高等数学下册第十章课件 高斯公式.ppt

,第六节,Green公式,Gauss公式,推广,一、高斯公式,*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件,三、通量与散度,机动目录上页下页返回结束,,,,高斯公式通量与散度,第十章,一、高斯Gauss公式,定理1.设空间闭区域由分片光滑的闭曲,上有连续的一阶偏导数,,下面先证,函数P,Q,R在,面所围成,的方向取外侧,,则有,Gauss公式,高斯目录上页下页返回结束,,证明设,为XY型区域,,则,定理1目录上页下页返回结束,所以,若不是XY–型区域,,则可引进辅助面,将其分割成若干个XY–型区域,,故上式仍成立.,正反两侧面积分正负抵消,,在辅助面,类似可证,三式相加,即得所证Gauss公式,定理1目录上页下页返回结束,例1.用Gauss公式计算,其中为柱面,闭域的整个边界曲面的外侧.,解这里,利用Gauss公式,得,原式,用柱坐标,,,,及平面z0,z3所围空间,思考若改为内侧,结果有何变化,若为圆柱侧面取外侧,如何计算,机动目录上页下页返回结束,例2.利用Gauss公式计算积分,其中为锥面,解作辅助面,取上侧,介于z0及,zh之间部分的下侧.,,所围区域为,,则,机动目录上页下页返回结束,利用重心公式,注意,,机动目录上页下页返回结束,例3.,设为曲面,取上侧,求,解,作取下侧的辅助面,用柱坐标,用极坐标,机动目录上页下页返回结束,在闭区域上具有一阶和,二阶连续偏导数,证明格林Green第一公式,,例4.设函数,其中是整个边界面的外侧.,分析,高斯公式,,机动目录上页下页返回结束,证令,由高斯公式得,移项即得所证公式.见P171,机动目录上页下页返回结束,*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件,1.连通区域的类型,设有空间区域G,,若G内任一闭曲面所围成的区域全属于G,,则称G,为空间二维单连通域;,若G内任一闭曲线总可以张一片全属于G的曲面,,则称G为空间一维单连通域.,例如,,球面所围区域,环面所围区域,立方体中挖去一个小球所成的区域,不是二维单连通区域.,既是一维也是二维单连通区域;,是二维但不是一维单连通区域;,是一维但,机动目录上页下页返回结束,2.闭曲面积分为零的充要条件,定理2.,在空间二维单,连通域G内具有连续一阶偏导数,,为G内任一闭曲面,,则,①,证“充分性”.,根据高斯公式可知②是①的充分条件.,的充要条件是,②,“必要性”.用反证法.,已知①成立,,机动目录上页下页返回结束,因P,Q,R在G内具有连续一阶偏导数,,则存在邻域,则由高斯公式得,与①矛盾,,故假设不真.,因此条件②是必要的.,取外侧,,机动目录上页下页返回结束,三、通量与散度,引例.,设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,,速度场为,理意义可知,,设为场中任一有向曲面,,单位时间通过曲面的流量为,则由对坐标的曲面积分的物,由两类曲面积分的关系,流量还可表示为,,机动目录上页下页返回结束,若为方向向外的闭曲面,,当0时,,说明流入的流体质量少于,当0时,,说明流入的流体质量多于流出的,,则单位时间通过的流量为,当0时,,说明流入与流出的流体质量相等.,,流出的,,表明内有泉;,表明,内有洞;,根据高斯公式,流量也可表为,,机动目录上页下页返回结束,③,方向向外的任一闭曲面,,记所围域为,,设是包含点M且,为了揭示场内任意点M处的特性,,,在③式两边同除以的体积V,,并令以,任意方式缩小至点M,则有,此式反应了流速场在点M的特点,其值为正,负或0,,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.,机动目录上页下页返回结束,定义,设有向量场,其中P,Q,R具有连续一阶偏导数,,是场内的一片有向,则称,曲面,,有向曲面的通量流量.,在场中点Mx,y,z处,,divergence,机动目录上页下页返回结束,,表明该点处有正源,,,表明该点处有负源,,,表明该点处无源,,散度绝对值的大小反映了源的强度.,,例如,匀速场,,,故它是无源场.,P16目录上页下页返回结束,,说明,由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且,*例5.,置于原点,电量为q的点电荷产生的场强为,,解,计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.,机动目录上页下页返回结束,,内容小结,1.高斯公式及其应用,公式,应用,1计算曲面积分,非闭曲面时注意添加辅助面的技巧,2推出闭曲面积分为零的充要条件,,,机动目录上页下页返回结束,2.通量与散度,设向量场,P,Q,R,在域G内有一阶连续,偏导数,,则,向量场通过有向曲面的通量为,G内任意点处的散度为,,,机动目录上页下页返回结束,思考与练习,所围立体,,判断下列演算是否正确,1,2,为,机动目录上页下页返回结束,作业,P17412,4,5;22;3;4,第七节目录上页下页返回结束,备用题设是一光滑闭曲面,,所围立体的体,是外法线向量与点x,y,z的向径,试证,证设的单位外法向量为,则,,的夹角,,积为V,,机动目录上页下页返回结束,高斯1777–1855,德国数学家、天文学家和物理学家,,是与阿基米德,牛顿并列的伟大数学家,,他的数学成就遍及各个领域,,在数论、,级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创,性的贡献,,他还十分重视数学的应用,,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、,曲面论和位势论等.,他在学术上十分谨慎,,原则,代数、非欧几何、微分几何、超几何,在对天文学、大,恪守这样的,“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.,,