高等数学下册第十章课件 对坐标曲线积分.ppt

,第二节,一、对坐标的曲线积分的概念与性质,二、对坐标的曲线积分的计算法,三、两类曲线积分之间的联系,机动目录上页下页返回结束,对坐标的曲线积分,,,第十章,一、对坐标的曲线积分的概念与性质,1.引例变力沿曲线所作的功.,设一质点受如下变力作用,在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,,求移,,“大化小”,“常代变”,“近似和”,“取极限”,变力沿直线所作的功,解决办法,动过程中变力所作的功W.,,,机动目录上页下页返回结束,,1“大化小”.,2“常代变”,把L分成n个小弧段,,有向小弧段,,近似代替,,则有,所做的功为,,,则,用有向线段,,,,,机动目录上页下页返回结束,3“近似和”,4“取极限”,其中为n个小弧段的最大长度,机动目录上页下页返回结束,2.定义.,设L为xoy平面内从A到B的一条有向光滑,弧,,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,,都存在,,在有向曲线弧L上,对坐标的曲线积分,,则称此极限为函数,或第二类曲线积分.,其中,,L称为积分弧段或积分曲线.,称为被积函数,,在L上定义了一个向量函数,极限,,,机动目录上页下页返回结束,若为空间曲线弧,记,称为对x的曲线积分;,称为对y的曲线积分.,若记,,对坐标的曲线积分也可写作,,,,类似地,,机动目录上页下页返回结束,3.性质,1若L可分成k条有向光滑曲线弧,2用L－表示L的反向弧,则,则,定积分是第二类曲线积分的特例.,说明,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向,机动目录上页下页返回结束,二、对坐标的曲线积分的计算法,定理,在有向光滑弧L上有定义且,L的参数方程为,则曲线积分,连续,,证明下面先证,存在,且有,机动目录上页下页返回结束,对应参数,设分点,根据定义,由于,对应参数,因为L为光滑弧,,同理可证,,机动目录上页下页返回结束,特别是,如果L的方程为,则,对空间光滑曲线弧,类似有,,定理目录上页下页返回结束,例1.计算,其中L为沿抛物线,解法1取x为参数,则,,,解法2取y为参数,则,从点,的一段.,机动目录上页下页返回结束,例2.计算,其中L为,,,1半径为a圆心在原点的,上半圆周,方向为逆时针方向;,2从点Aa,0沿x轴到点B–a,0.,解1取L的参数方程为,2取L的方程为,则,则,机动目录上页下页返回结束,例3.计算,其中L为,1抛物线,2抛物线,3有向折线,解1原式,2原式,3原式,,,,机动目录上页下页返回结束,例4.设在力场,作用下,质点由,沿移动到,解1,2的参数方程为,,试求力场对质点所作的功.,其中为,,,机动目录上页下页返回结束,例5.求,其中,从z轴正向看为顺时针方向.,,,解取的参数方程,机动目录上页下页返回结束,三、两类曲线积分之间的联系,设有向光滑弧L以弧长为参数的参数方程为,已知L切向量的方向余弦为,则两类曲线积分有如下联系,机动目录上页下页返回结束,,,,类似地,在空间曲线上的两类曲线积分的联系是,令,,,,,,机动目录上页下页返回结束,二者夹角为,例6.设,曲线段L的长度为s,证明,续,,证,设,,说明上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.,在L上连,,机动目录上页下页返回结束,例7.,将积分,化为对弧长的积,分,,解,,,其中L沿上半圆周,机动目录上页下页返回结束,1.定义,2.性质,1L可分成k条有向光滑曲线弧,2L－表示L的反向弧,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向,内容小结,机动目录上页下页返回结束,3.计算,对有向光滑弧,对有向光滑弧,机动目录上页下页返回结束,4.两类曲线积分的联系,对空间有向光滑弧,,机动目录上页下页返回结束,,,原点O的距离成正比,,思考与练习,1.设一个质点在,处受,恒指向原点,,沿椭圆,此质点由点,沿逆时针移动到,,,,提示,,,,解见P139例5,,,,机动目录上页下页返回结束,2.已知,为折线ABCOA如图,计算,提示,,,,,,,,,,,,机动目录上页下页返回结束,作业,P14132,4,6,7;4;5;7;8,第三节目录上页下页返回结束,备用题1.,解,,,,线移动到,向坐标原点,,其大小与作用点到xoy面的距离成反比.,沿直,,,,,机动目录上页下页返回结束,2.设曲线C为曲面,与曲面,从ox轴正向看去为逆时针方向,,1写出曲线C的参数方程;,2计算曲线积分,解1,,,,,,机动目录上页下页返回结束,2原式,令,,,利用“偶倍奇零”,,机动目录上页下页返回结束,