高等数学下册第十章课件 对坐标曲面积分.ppt

,第五节,一、有向曲面及曲面元素的投影,二、对坐标的曲面积分的概念与性质,三、对坐标的曲面积分的计算法,四、两类曲面积分的联系,机动目录上页下页返回结束,对坐标的曲面积分,,,,第十章,一、有向曲面及曲面元素的投影,曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,,单侧曲面的典型,机动目录上页下页返回结束,其方向用法向量指向,方向余弦,0为前侧0为右侧0为上侧0为下侧,外侧内侧,设为有向曲面,,侧的规定,指定了侧的曲面叫有向曲面,,表示,其面元,在xoy面上的投影记为,的面积为,则规定,,类似可规定,机动目录上页下页返回结束,二、对坐标的曲面积分的概念与性质,1.引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为,求单位时间流过有向曲面的流量.,,,,,,分析若是面积为S的平面,,则流量,法向量,流速为常向量,,,,,,,机动目录上页下页返回结束,对一般的有向曲面,,用“大化小,常代变,近似和,取极限”,,,,对稳定流动的不可压缩流体的,速度场,,进行分析可得,,,,,则,机动目录上页下页返回结束,设为光滑的有向曲面,在上定义了一个,意分割和在局部面元上任意取点,,分,,记作,P,Q,R叫做被积函数;,叫做积分曲面.,或第二类曲面积分.,下列极限都存在,向量场,,若对的任,2.定义.,机动目录上页下页返回结束,引例中,流过有向曲面的流体的流量为,称为Q在有向曲面上对z,x的曲面积分;,称为R在有向曲面上对x,y的曲面积分.,称为P在有向曲面上对y,z的曲面积分;,若记正侧的单位法向量为,令,,,则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式,机动目录上页下页返回结束,3.性质,1若,之间无公共内点,则,2用ˉ表示的反向曲面,则,机动目录上页下页返回结束,三、对坐标的曲面积分的计算法,定理设光滑曲面,取上侧,,是上的连续函数,则,证,∵取上侧,,,机动目录上页下页返回结束,若,则有,若,则有,前正后负,右正左负,说明,如果积分曲面取下侧,则,机动目录上页下页返回结束,例1.计算,其中是以原点为中心,边长为a的正立方,体的整个表面的外侧.,解,利用对称性.,原式,的顶部,取上侧,的底部,取下侧,,机动目录上页下页返回结束,解把分为上下两部分,思考下述解法是否正确,例2.计算曲面积分,其中为球面,外侧在第一和第八卦限部分.,,,,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,例3.设S是球面,的外侧,计算,解利用轮换对称性,有,,机动目录上页下页返回结束,四、两类曲面积分的联系,曲面的方向用法向量的方向余弦刻画,,机动目录上页下页返回结束,令,,,向量形式,,,机动目录上页下页返回结束,例4.位于原点电量为q的点电荷产生的电场为,解,,,机动目录上页下页返回结束,例5.设,是其外法线与z轴正向,夹成的锐角,计算,解,,,机动目录上页下页返回结束,例6.计算曲面积分,其中,解利用两类曲面积分的联系,有,∴原式,旋转抛物面,介于平面z0,及z2之间部分的下侧.,,机动目录上页下页返回结束,原式,机动目录上页下页返回结束,内容小结,定义,1.两类曲面积分及其联系,,,机动目录上页下页返回结束,性质,联系,思考,的方向有关,,上述联系公式是否矛盾,两类曲线积分的定义一个与的方向无关,一个与,机动目录上页下页返回结束,2.常用计算公式及方法,面积分,第一类对面积,第二类对坐标,,二重积分,1统一积分变量,代入曲面方程方程不同时分片积分,,2积分元素投影,第一类面积投影,第二类有向投影,4确定积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,注二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.,,,,转化,,机动目录上页下页返回结束,当,时，,（上侧取“”,下侧取“”,类似可考虑在yoz面及zox面上的二重积分转化公式.,机动目录上页下页返回结束,思考与练习,1.P167题2,提示设,则,取上侧时,,取下侧时,,2.P184题1,3.P167题33,机动目录上页下页返回结束,是平面,在第四卦限部分的上侧,计算,提示,求出的法方向余弦,,转化成第一类曲面积分,P167题33.设,作业P16731,2,4;41,2,第六节目录上页下页返回结束,备用题求,取外侧.,解,,,,注意号,其中,机动目录上页下页返回结束,利用轮换对称性,机动目录上页下页返回结束,