高等数学下册第十章课件 对面积曲面积分.ppt

,第四节,一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算法,机动目录上页下页返回结束,对面积的曲面积分,,第十章,一、对面积的曲面积分的概念与性质,引例设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想,采用,可得,求质,,“大化小,常代变,近似和,求极限”,的方法,,量M.,其中,表示n小块曲面的直径的,最大值曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者.,机动目录上页下页返回结束,定义,设为光滑曲面,,“乘积和式极限”,都存在,,的曲面积分,其中fx,y,z叫做被积,据此定义,曲面形构件的质量为,曲面面积为,fx,y,z是定义在上的一,个有界函数,,或第一类曲面积分.,若对做任意分割和局部区域任意取点,,则称此极限为函数fx,y,z在曲面上对面积,函数,叫做积分曲面.,机动目录上页下页返回结束,则对面积的曲面积分存在.,对积分域的可加性.,则有,线性性质.,在光滑曲面上连续,,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.,积分的存在性.,若是分片光滑的,,例如分成两,片光滑曲面,机动目录上页下页返回结束,,定理设有光滑曲面,fx,y,z在上连续,,存在,且有,,,二、对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,证明由定义知,,,机动目录上页下页返回结束,,而,光滑,机动目录上页下页返回结束,说明,可有类似的公式.,1如果曲面方程为,2若曲面为参数方程,,只要求出在参数意义下dS,的表达式,,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的,二重积分.见本节后面的例4,例5,机动目录上页下页返回结束,例1.计算曲面积分,其中是球面,被平面,截出的顶部.,解,机动目录上页下页返回结束,思考,若是球面,被平行平面zh截,出的上下两部分,,则,机动目录上页下页返回结束,例2.计算,其中是由平面,坐标面所围成的四面体的表面.,解设,上的部分,则,,与,原式,分别表示在平面,机动目录上页下页返回结束,例3.,设,计算,解锥面,,与上半球面,交线为,为上半球面夹于锥面间的部分,,它在xoy面上的,投影域为,则,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,思考若例3中被积函数改为,,计算结果如何,例4.求半径为R的均匀半球壳的重心.,解设的方程为,利用对称性可知重心的坐标,而,用球坐标,思考题例3是否可用球面坐标计算,,例3目录上页下页返回结束,例5.计算,解取球面坐标系,则,机动目录上页下页返回结束,例6.计算,其中是球面,利用对称性可知,解显然球心为,半径为,,,利用重心公式,,机动目录上页下页返回结束,例7.计算,其中是介于平面,之间的圆柱面,分析若将曲面分为前后或左右,则,解取曲面面积元素,两片,,则计算较繁.,机动目录上页下页返回结束,,例8.求椭圆柱面,位于xoy面上方及平面,zy下方那部分柱面的侧面积S.,解,取,,机动目录上页下页返回结束,例9.,设有一颗地球同步轨道通讯卫星,距地面高度,h36000km,,机动目录上页下页返回结束,运行的角速度与地球自转角速度相同,,试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比.,地球半径R6400km,解,建立坐标系如图,,覆盖曲面的,半顶角为,,利用球坐标系,则,卫星覆盖面积为,机动目录上页下页返回结束,故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为,由以上结果可知,卫星覆盖了地球,以上的面积,,故使用三颗相隔,角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球,全表面.,说明此题也可用二重积分求A见下册P109例2.,内容小结,1.定义,2.计算设,则,曲面的其他两种情况类似,注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式,简化计算的技巧.,机动目录上页下页返回结束,思考与练习,P158题1；3；41;7,解答提示,P158题1.,P158题3.,设,则,P184题2,机动目录上页下页返回结束,P158题41.,在xoy面上的投影域为,这是的面积,机动目录上页下页返回结束,P159题7.,如图所示,有,,机动目录上页下页返回结束,P184题2.设,一卦限中的部分,则有.,2000考研,机动目录上页下页返回结束,作业,P15843;52;61,3,4;8,第五节目录上页下页返回结束,备用题1.已知曲面壳,求此曲面壳在平面z＝1以上部分的,的面密度,质量M.,解在xoy面上的投影为,故,机动目录上页下页返回结束,2.设是四面体,面,计算,解在四面体的四个面上,同上,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,