高等数学下册第十章课件 对弧长和曲线积分.ppt

,第十章,,积分学定积分二重积分三重积分,积分域区间域平面域空间域,,,,,,,曲线积分,曲线域,曲面域,曲线积分,曲面积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,曲面积分,曲线积分与曲面积分,,,第一节,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,二、对弧长的曲线积分的计算法,机动目录上页下页返回结束,,对弧长的曲线积分,第十章,,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,假设曲线形细长构件在空间所占,其线密度为,“大化小,常代变,近似和,求极限”,,可得,为计算此构件的质量,,,1.引例曲线形构件的质量,采用,,机动目录上页下页返回结束,,设是空间中一条有限长的光滑曲线,,义在上的一个有界函数,,都存在,,上对弧长的曲线积分,,记作,若通过对的任意分割,局部的任意取点,,2.定义,下列“乘积和式极限”,则称此极限为函数,在曲线,或第一类曲线积分.,称为被积函数，,称为积分弧段.,曲线形构件的质量,,,和对,,机动目录上页下页返回结束,如果L是xoy面上的曲线弧,,如果L是闭曲线,则记为,则定义对弧长的曲线积,分为,机动目录上页下页返回结束,思考,1若在L上fx,y≡1,,2定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例,否,对弧长的曲线积分要求ds0,,但定积分中,dx可能为负.,3.性质,（k为常数,由组成,l为曲线弧的长度,机动目录上页下页返回结束,二、对弧长的曲线积分的计算法,基本思路,计算定积分,定理,且,上的连续函数,,证,是定义在光滑曲线弧,则曲线积分,求曲线积分,根据定义,机动目录上页下页返回结束,点,设各分点对应参数为,对应参数为,则,,机动目录上页下页返回结束,说明,因此积分限必须满足,2注意到,,因此上述计算公式相当于“换元法”.,因此,机动目录上页下页返回结束,如果曲线L的方程为,则有,如果方程为极坐标形式,则,推广设空间曲线弧的参数方程为,则,机动目录上页下页返回结束,例1.计算,其中L是抛物线,与点B1,1之间的一段弧.,解,上点O0,0,机动目录上页下页返回结束,例2.计算半径为R,中心角为,的圆弧L对于它的对,称轴的转动惯量I设线密度1.,解建立坐标系如图,,,则,机动目录上页下页返回结束,例3.计算,其中L为双纽线,解在极坐标系下,它在第一象限部分为,利用对称性,得,,,机动目录上页下页返回结束,例4.计算曲线积分,其中为螺旋,的一段弧.,解,线,机动目录上页下页返回结束,例5.计算,其中为球面,被平面所截的圆周.,解由对称性可知,机动目录上页下页返回结束,思考例5中改为,计算,解令,,则,,圆的形心在原点,故,,如何,机动目录上页下页返回结束,例6.计算,其中为球面,解,化为参数方程,,则,机动目录上页下页返回结束,例7.有一半圆弧,其线密度,解,故所求引力为,求它对原点处单位质量质点的引力.,,,,,,机动目录上页下页返回结束,内容小结,1.定义,2.性质,l曲线弧的长度,机动目录上页下页返回结束,3.计算,对光滑曲线弧,对光滑曲线弧,对光滑曲线弧,机动目录上页下页返回结束,思考与练习,1.已知椭圆,周长为a,求,提示,原式,利用对称性,,分析,机动目录上页下页返回结束,2.设均匀螺旋形弹簧L的方程为,1求它关于z轴的转动惯量,2求它的质心.,解设其密度为ρ常数.,,2L的质量,而,1,机动目录上页下页返回结束,故重心坐标为,作业P13133,4,6,75,第二节目录上页下页返回结束,,备用题,1.设C是由极坐标系下曲线,及,所围区域的边界,求,,,,提示分段积分,机动目录上页下页返回结束,2.L为球面,面的交线,求其形心.,在第一卦限与三个坐标,解如图所示,交线长度为,由对称性,形心坐标为,机动目录上页下页返回结束,,