高等数学下册第十一章课件 一致收敛.ppt

,函数项级数的一致收敛性,*第六节,一、函数项级数的一致收敛性,及一致收敛级数的基本性质,二、一致收敛级数的基本性质,机动目录上页下页返回结束,,第十一章,一、函数项级数的一致收敛性,幂级数在收敛域内的性质类似于多项式,,但一般函数,项级数则不一定有这么好的特点.,例如,级数,每项在[0,1]上都连续,,其前n项之和为,和函数,,该和函数在x＝1间断.,机动目录上页下页返回结束,因为对任意x都有,所以它的收敛域为－∞,∞,,但逐项求导后的级数,其一般项不趋于0,,所以对任意x都发散.,又如,函数项级数,问题对什么样的函数项级数才有,逐项连续,,和函数连续;,逐项求导和函数求导;,逐项积分和函数积分,机动目录上页下页返回结束,定义.,设Sx为,若对,都有一个只依赖于的自然数N,,使,当nN时,对区间I上的一切x都有,则称该级数在区间I上一致收敛于和函数Sx.,在区间I上的和函数,,任意给定的0,,显然,在区间I上,一致收敛于和函数Sx,,,部分和序列,一致收敛于Sx,,,余项,一致收敛于0,机动目录上页下页返回结束,几何解释如图,,,当nN时,,曲线,总位于曲线,,之间.,机动目录上页下页返回结束,例1.,研究级数,在区间[0,∞上的收敛性.,解,机动目录上页下页返回结束,余项的绝对值,因此,任给0,,取自然数,则当nN时有,这说明级数在[0,∞上一致收敛于,机动目录上页下页返回结束,例2.,证明级数,在[0,1]上不一致收敛.,证,,,取正数,对无论多么大的正数N,,因此级数在[0,1]上不,一致收敛.,机动目录上页下页返回结束,说明,,,,,对任意正数r0,,欲使,只要,因此取,只要,即级数在[0,r]上一致收敛.,机动目录上页下页返回结束,,维尔斯特拉斯Weierstrass判别法,用一致收敛定义判别级数的一致收敛性时,需求出,这往往比较困难.,下面介绍一个较方便的,判别法.,若函数项级数,在区间I上满足,则函数项级数,在区间I上一致收敛.,简介目录上页下页返回结束,证,由条件2,根据柯西审敛原理,,当,nN时,,对任意正整数p,都有,由条件1,对x∈I,有,故函数项级数,在区间I上一致收敛.,证毕,机动目录上页下页返回结束,推论.,若幂级数,的收敛半径R0,,则此级,数在－R,R内任一闭区间[a,b]上一致收敛.,证,则对[a,b]上的一切x,都有,由阿贝尔定理第三节定理1级数,绝对收敛,,由维尔斯特拉斯判别法即知推论成立.,说明若幂级数在收敛区间的端点收敛,,则一致收敛,区间可包含此端点.,证毕,机动目录上页下页返回结束,例3.,证明级数,在－∞,∞上一致收敛.,证,而级数,收敛,,由维尔斯特拉斯判别法知所给级数,在－∞,∞上一致收敛.,机动目录上页下页返回结束,说明,维尔斯特拉斯判别法不仅能判别级数的一致收,敛性,,而且能判别其绝对收敛性.,当不易观察到不等式,可利用导数求,例如,级数,用求导法可得,已知,收敛,,因此原级数在[0,∞上一致收敛.,机动目录上页下页返回结束,二、一致收敛级数的基本性质,定理1.,若级数,证,只需证明,由于,机动目录上页下页返回结束,因为级数,一致收敛于Sx,,使当nN时,有,对这样选定的n,,从而必存在0,,从而得,证毕,机动目录上页下页返回结束,说明,1定理1表明,对一致收敛的级数,,极限运算与无限,求和运算可交换,,即有,2若函数项级数不一致收敛时,定理结论不一定成立.,例如,级数,在区间[0,1]上处处收敛,,而其和函数,,在x1处不连续.,机动目录上页下页返回结束,定理2.,若级数,则该级数在[a,b]上可逐项积分,,且上式右端级数在[a,b]上也一致收敛.,证因为,机动目录上页下页返回结束,所以只需证明对任意,一致有,根据级数的一致收敛性,,使当,nN时,有,于是,当nN时,对一切,有,因此定理结论正确.,证毕,机动目录上页下页返回结束,说明,若级数不一致收敛时,定理结论不一定成立.,例如,级数,它的部分和,因此级数在[0,1]上,收敛于Sx0,,所以,但是,①,为什么对级数①定理结论不成立,分析它是否满足,机动目录上页下页返回结束,定理2条件.,级数的余项,可见级数①在[0,1]上不一致收敛,,此即定理2结论,对级数①不成立的原因.,机动目录上页下页返回结束,定理3.,若级数,且可逐项求导,即,证,先证可逐项求导.,根据定理2,,机动目录上页下页返回结束,上式两边对x求导,得,再证,根据定理2,,而,机动目录上页下页返回结束,所以,级数一致收敛并不保证可以逐项求导.,例如,例3中的级数,说明,在任意区间上都一致收敛,,但求导后的级数,其一般项不趋于0,,所以对任意x都发散.,证毕,机动目录上页下页返回结束,例4.,证明函数,对任意x有连续导数.,解,显然所给级数对任意x都收敛,,且每项都有连续,导数,,而逐项求导后的级数,故级数②在－∞,∞,上一致收敛,,故由定理3可知,②,再由定理1可知,机动目录上页下页返回结束,定理4.若幂级数,的收敛半径,则其和函,在收敛域上连续,,且在收敛区间内可逐项求导与,逐项求积分,,运算前后收敛半径相同,即,证关于和函数的连续性及逐项可积的结论由维尔斯,特拉斯判别法的推论及定理1,2立即可得.,下面证明逐项可导的结论,机动目录上页下页返回结束,证,则,由比值审敛法知级数,故,故存在M0,使得,由比较审敛法可知,机动目录上页下页返回结束,上一致收敛,,故原级数,内任一闭区间,上满足定理3条件,,从而可逐项求导,,即知,再证级数,的收敛半径,由前面的证明可知,若将幂级数,机动目录上页下页返回结束,级数的收敛半径不会缩小,,因逐项积分所得,幂级数,－R,R内有任意阶导数,,且有,其收敛半径都为R.,推论.,的和函数Sx在收敛区间,证毕,作业P2371;32;42,4,5,第七节目录上页下页返回结束,维尔斯特拉斯1815–1897,,德国数学家.,他的主要贡献是在函数,论及分析学方面.,1854年,他解决了椭圆,以后还建立了椭圆函,数的新结构.,他在分析学中建立了实数,理论,引进了极限的–定义,,定义及性质,,还构造了一个处处不可微的连续函数,积分的逆转问题,,给出了连续函数的严格,为分析学的算术化作出了重要贡献.,