数值分析论文(作业).pdf

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1、9/17/2019数值分析论文（作业） - 百度文库https:/ 资讯 视频 图片 知道 文库 贴吧 采购 地图 |VIP新客立减2元百度文库教育专区高等教育理学首页分类精品内容申请认证机构合作频道专区 会员中心 数值分析数值分析 -代数插值法的论述代数插值法的论述 姓名：蔺孝宝姓名：蔺孝宝 学号：学号：12023316 12023316 班级：班级：1203 1203 学院：商洛学院学院：商洛学院 数计学院数学与计算科学系数计学院数学与计算科学系 日期日期 2014.12.292014.12.299/17/2019数值分析论文（作业） - 百度文库https:/ -1-1-代数插值法代数插

2、值法 1.1. 摘要摘要 插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应用插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应用 。在生产和实验中，函数。在生产和实验中，函数 f(x)f(x)或者其表达式不便于计算复杂或者无表达式而只有函数在给定点的函数值或者其表达式不便于计算复杂或者无表达式而只有函数在给定点的函数值( (或其导数值或其导数值) ) ，此时我们希望建立一个简单的而便于计算的函数此时我们希望建立一个简单的而便于计算的函数 j j(x)(x)，使其近似的代替，使其近似的代替 f(x)f(x)，有很多种插，有很多种插值法值法, ,其中以拉格朗日其中以拉格朗日(Lagrange)(Lagran

3、ge)插值和牛顿插值和牛顿(Newton)(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点插值为代表的多项式插值最有特点, ,常用的插值还有常用的插值还有 HermitHermit 插值插值, ,分段插值和样条插值分段插值和样条插值. .这里主要介绍拉格朗日这里主要介绍拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)插值插值和牛顿和牛顿(Newton)(Newton)插值并在插值并在 MATLABMATLAB 中的应用操作。中的应用操作。 【关键字关键字】插值法】插值法 拉格朗日插值拉格朗日插值 牛顿插值牛顿插值 MATLAB MATLAB 正文：正文： 一、调用一、调用MATLABMATLAB

4、内带函数插值内带函数插值 1 1、MATLABMATLAB 内带插值函数列举如下：内带插值函数列举如下： interp1 interp1 interpft interpft interp2 interp2 interp3 interp3 interpn interpn spline spline meshgrid meshgrid ndgrid ndgrid griddata griddata 一维数据内插一维数据内插( (查表法查表法) ) 使用使用 FFTFFT 方法的一维数据内插方法的一维数据内插 二维数据内插二维数据内插( (查表法查表法) ) 三维数据内插三维数据内插( (查表法查表

5、法) ) 多维数据内插多维数据内插( (查表法查表法) ) 三次样条内插三次样条内插 为三维绘图产生为三维绘图产生 X X 和和 Y Y 阵阵 为多维函数和内插产生阵列为多维函数和内插产生阵列 数据网格数据网格 2 2、取其中的一维数据内插函数（、取其中的一维数据内插函数（interp1interp1）为例，程序如下：）为例，程序如下： 其调用格式为：其调用格式为： yi=interp1(x, y, xi) yi=interp1(x, y, xi) yi=interp1(x, y, xi, method) yi=interp1(x, y, xi, method) 举例如下：举例如下： x=0:

6、10:100 x=0:10:100 y=40 44 46 52 65 76 80 82 88 92 110; y=40 44 46 52 65 76 80 82 88 92 110; xi=0:1:100 xi=0:1:100 yi=interp1(x,y,xi,spline) yi=interp1(x,y,xi,spline) 3 3、其他内带函数调用格式为：、其他内带函数调用格式为： InterpftInterpft 函数：函数： y=interpft(x,n) y=interpft(x,n) y=interpft(x,n,dim) y=interpft(x,n,dim) interp2i

7、nterp2 函数：函数： 9/17/2019数值分析论文（作业） - 百度文库https:/ -2-2-ZI=interp2(X, Y, Z, XI, YI)ZI=interp2(X, Y, Z, XI, YI)， ZI=imerp2(Z, ntimes) ZI=imerp2(Z, ntimes) ZI=interp2(Z, XI, YI) ZI=interp2(Z, XI, YI) ，ZI=interp2(X, Y, Z, XI, YI, method) interp3ZI=interp2(X, Y, Z, XI, YI, method) interp3 函数：函数： VI=interp3

8、(X,Y,Z,V,XI,YI,ZI) VI=interp3(X,Y,Z,V,XI,YI,ZI) VI=interp3(V, ntimes) VI=interp3(V, ntimes) VI=interp3(V,XI,YI,ZI) VI=interp3(, method)VI=interp3(V,XI,YI,ZI) VI=interp3(, method) InterpnInterpn 函数：函数： VI=interpn(X1, X2, X3, , V, Y1, Y2, Y3, ) VI=interpn(X1, X2, X3, , V, Y1, Y2, Y3, ) VI=interpn(V, n

9、times) VI=interpn(V, ntimes) VI=interpn(V, Yl, Y2, Y3, ) VI=interpn(V, Yl, Y2, Y3, ) VI=interpn(, method)VI=interpn(, method) SplineSpline 函数：函数： yi=spline(x,y,xi) yi=spline(x,y,xi) pp=spline(x,y) pp=spline(x,y) meshgridmeshgrid 函数：函数： X,Y=meshgrid(x,y) X,Y=meshgrid(x,y) X,Y=meshgrid(x) X,Y=meshgrid

10、(x) X,Y,Z=meshgrid(x,y,z) X,Y,Z=meshgrid(x,y,z) NdgridNdgrid 函数：函数： X1, X2, X3, =ndgrid(x1, x2, x3, )X1, X2, X3, =ndgrid(x1, x2, x3, ) X1, X2, X3, =ndgrid(x)X1, X2, X3, =ndgrid(x) GriddataGriddata 函数：函数： ZI=griddata(x, y, z, XI, YI) ZI=griddata(x, y, z, XI, YI) XI, YI, ZI=griddata(x, y, z, xi, yi) X

11、I, YI, ZI=griddata(x, y, z, xi, yi) =griddata( method)=griddata( method) 二、两种插值法分析与二、两种插值法分析与MATLABMATLAB应用应用 1.11.1 拉格朗日插值拉格朗日插值 1.1.11.1.1基本原理基本原理 构造构造 n n 次多项式次多项式 Pn (x)= yk Pn (x)= yk lk (x)=y0l0 (x)+y1l1 (x)+ynln (x)，这是不超过lk (x)=y0l0 (x)+y1l1 (x)+ynln (x)，这是不超过n n 次的多项式，其中基函数次的多项式，其中基函数 lk(x)=

12、lk(x)=) ).(.()( )().().()( )( () ).(.()( )().().()( )( () )1 11 11 10 0) )1 11 11 10 0n nk kk kk kk kk kk kk kn nk kk kx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx x- - - - - - - - - - -+ +- -+ +- - 显然显然 lk (x)lk (x)满足满足 lk (xi)=lk (xi)= = =) )( (0 0) )( ( 1 1k ki ik ki i 此时此时 Pn(x) Pn

13、(x)f(x),f(x),误差误差 Rn(x)=f(x)-Pn(x)=Rn(x)=f(x)-Pn(x)=(x (x) )! )!1 1( () )( (1 1) )1 1( (+ + + +n nn nn nf fw wx x 其中其中x x(a,b)(a,b)且依赖于且依赖于 x x，(x)(x)1 1+ +n nw w= =（x-x0 x-x0）(x-(x-x1)(xx1)(x-xn) -xn) 很显然，当很显然，当 n=1n=1、插值节点只有两个、插值节点只有两个 xk,xk+1xk,xk+1 时时 P1(x)=yklk(x)+yk+1lk+1(x) P1(x)=yklk(x)+yk+1

14、lk+1(x) 9/17/2019数值分析论文（作业） - 百度文库https:/ -3-3-其中基函数其中基函数 lk(x)=lk(x)=1 11 1+ + +- - -k kk kk kx xx xx xx x lk+1(x)= lk+1(x)= k kk kk kx xx xx xx x- - -+ + 1 1 1.1.21.1.2优缺点优缺点 可对插值函数选择多种不同的函数类型，可对插值函数选择多种不同的函数类型，由于代数多项式具有简单和一些良好的特性，由于代数多项式具有简单和一些良好的特性，故常选用代数多项式作为插值函数。故常选用代数多项式作为插值函数。利用插值基函数很容易得到拉格朗

15、日插值多项式，利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式公式结构紧凑，结构紧凑， 在理论分析中甚为方便，在理论分析中甚为方便， 但当插值节点增减时全部插值基函数但当插值节点增减时全部插值基函数 LkLk(x)(k=0,1,n)(x)(k=0,1,n)均要随之变化，均要随之变化， 整个公式也将发生变化，整个公式也将发生变化， 这在实际计算中是很不方便的，这在实际计算中是很不方便的， 为了克服这一缺点，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值可以克服这一缺点。提出了牛顿插值可以克服这一缺点。 1.1.31.1.3 数值实验数值实验 建立建立 M M 文件：文件： function f = Langu

16、age(x,y,x0) function f = Language(x,y,x0) syms t l; syms t l; if(length(x) = length(y) if(length(x) = length(y) n = length(x); n = length(x); else else disp(x disp(x 和和 y y 的维数不相等！的维数不相等！); ); return; % return; %检错检错 end end h=sym(0); h=sym(0); for (i=1:n) for (i=1:n) l=sym(y(i); l=sym(y(i); for(j=1

17、:i-1) for(j=1:i-1) l=l*(t-x(j)/(x(i)-x(j); l=l*(t-x(j)/(x(i)-x(j); end; end; for(j=i+1:n) for(j=i+1:n) l=l*(t-x(j)/(x(i)-x(j); l=l*(t-x(j)/(x(i)-x(j); end; end; h=h+l; h=h+l; end end simplify(h); simplify(h); 9/17/2019数值分析论文（作业） - 百度文库https:/ -4-4-if(nargin = 3) if(nargin = 3) f = subs (h,t,x0); % f

18、 = subs (h,t,x0); %计算插值点的函数值计算插值点的函数值 else else f=collect(h); f=collect(h); f = vpa(f,6); % f = vpa(f,6); %将插值多项式的系数化成将插值多项式的系数化成 6 6 位精度的小数位精度的小数 end end 在在 MATLABMATLAB 中输入：中输入： x=18 31 66 68 70 72 70; x=18 31 66 68 70 72 70; y=23 33 52 51 43 40 46; y=23 33 52 51 43 40 46; f=Language(x,y) f=Langua

19、ge(x,y) plot(x,y) plot(x,y) 结果为：结果为： f =Inf + (-t)*Inf - 54329.8*t2 + 1503.75*t3 - 22.2065*t4 + 0.16789*t5 - f =Inf + (-t)*Inf - 54329.8*t2 + 1503.75*t3 - 22.2065*t4 + 0.16789*t5 - 0.000512106*t6 0.000512106*t6 图形如下：图形如下： MATLABMATLAB 实现拉格朗日插值实现拉格朗日插值 建立如下拉格朗日插值函数：建立如下拉格朗日插值函数： function y=lagrange(x

20、0,y0,x); function y=lagrange(x0,y0,x); n=length(x0); n=length(x0); m=length(x); m=length(x); for i=1:m for i=1:m 9/17/2019数值分析论文（作业） - 百度文库https:/ -5-5- z=x(i); z=x(i); s=0.0; s=0.0; for k=1:n for k=1:n p=1.0; p=1.0; for j=1:n for j=1:n if j=k if j=k p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0

21、(j); end end end end s=p*y0(k)+s; s=p*y0(k)+s; end end y(i)=s; y(i)=s; end end 画图程序如下：画图程序如下： x=-5:1:5; x=-5:1:5; y=1./(1+x.2); y=1./(1+x.2); x0=-5:0.001:5; x0=-5:0.001:5; y0=lagrange(x,y,x0); y0=lagrange(x,y,x0); y1=1./(1+x0.2); y1=1./(1+x0.2); plot(x0,y0,r) plot(x0,y0,r) hold on hold on plot(x0,y1

22、,g) plot(x0,y1,g) 注：画出的图形为注：画出的图形为 n =10n =10 的图形的图形 得到图形如下：得到图形如下： n=10n=10 的图像的图像 9/17/2019数值分析论文（作业） - 百度文库https:/ -6-6-1.21.2 牛顿插值牛顿插值 1.2.11.2.1基本原理基本原理 构造构造 n n 次多项式次多项式 Nn(x)=f(x0)+f(x0,x1)(x-x0)+f(x0,x1,x2)(x-x0)(x-Nn(x)=f(x0)+f(x0,x1)(x-x0)+f(x0,x1,x2)(x-x0)(x-x1)+x1)+ +f(x0,x1,x2,xn)(x+f(x

23、0,x1,x2,xn)(x-x0)(x-x0)(x-x1)(xx1)(x-xn) -xn) 称为牛顿插值多项式，其中称为牛顿插值多项式，其中 1 10 01 10 01 10 0) )( () )( () ), ,( (x xx xx xf fx xf fx xx xf f- - -= = ( (二个节点，一阶差商二个节点，一阶差商) ) 2 20 02 21 11 10 02 21 10 0) ), ,( () ), ,( () ), , ,( (x xx xx xx xf fx xx xf fx xx xx xf f- - -= = ( (三个节点，二阶差商三个节点，二阶差商) ) n n

24、n nn nn nx xx xx xx xx xf fx xx xx xf fx xx xx xf f- - -= =- -0 02 21 11 11 10 01 10 0) ),.,., ,( () ),.,., ,( () ),.,., ,( ( (n+1 (n+1 个节点，个节点，n n 阶差商阶差商) ) 注意：注意： 由于插值多项式的唯一性，由于插值多项式的唯一性， 有时为了避免拉格朗日余项有时为了避免拉格朗日余项 Rn(x)Rn(x)中中 n+1n+1 阶导数的运阶导数的运算，用牛顿插值公式算，用牛顿插值公式 Rn (x)=f(x)-Rn (x)=f(x)-Nn(x)=f(x,x0

25、,xn)Nn(x)=f(x,x0,xn) n+1(x), n+1(x), 其中其中 n+1(x)=(x-x0)(x-n+1(x)=(x-x0)(x-x1)(xx1)(x-xn) -xn) 1.2.21.2.2优缺点优缺点 牛顿插值法具有承袭性和易变性的特点，当增加一个节点时，只要再增加一项就可以了即牛顿插值法具有承袭性和易变性的特点，当增加一个节点时，只要再增加一项就可以了即 , , , , ) )( () )( )( () )( () )( (1 10 01 10 01 1+ + +- - - -+ += =k kk kk kk kk kx xx xx xf fx xx xx xx xx x

26、x xx xN Nx xN NLLLL而拉格朗日插值若要增而拉格朗日插值若要增加一个节点时全部基函数都需要重新算过。加一个节点时全部基函数都需要重新算过。牛顿插值法既适合于用来计算函数值，牛顿插值法既适合于用来计算函数值，也适合于也适合于做理论推导，比如说可用来推导微分方程的数值求解公式。做理论推导，比如说可用来推导微分方程的数值求解公式。 1.2.31.2.3数值实验数值实验 1 1、差商相关公式、差商相关公式 ( ( ) )( () ) ( () ) ( ()( )() ) ( ( ) ) ( ( ) )( ()( )() ) ( () )0 00 01 10 00 01 12 20 01

27、 10 01 10 01 12 20 01 11 10 01 11 10 01 11 1, , , ,. ., ,.,., ,.,., , ,.,., ,.,.,. .n nn nn nk kk kk kk kk kk kn nn nN Nx xf fx xf f x x x xx xx xf f x xx x x xx xx xx xx xf f x xx xx xx xf f x xx xx xx xf f x x x xx xf f x xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xw ww w- - - - - = =+ +- -+ +- - -+ + + - -

28、 = = - - = =- - - - 9/17/2019数值分析论文（作业） - 百度文库https:/ -7-7-2 2、程序思想、程序思想 根据实际计算理论，利用根据实际计算理论，利用 NewtonNewton 插值多项式计算，事先应知道其节点个数。所以，本插值多项式计算，事先应知道其节点个数。所以，本程序设置在程序设置在 100100 个节点即最高次可达个节点即最高次可达 9999 次的多项式计算，通过输入节点个数来控制每次要次的多项式计算，通过输入节点个数来控制每次要计算的多项式的次数。计算的多项式的次数。 首先，计算各阶的函数值。首先，计算各阶的函数值。 根据节点的个数与每阶阶商具

29、有的阶商个数循环计算各阶商的值，根据节点的个数与每阶阶商具有的阶商个数循环计算各阶商的值， 并根据相应的节点下并根据相应的节点下标控制输出各阶商值。标控制输出各阶商值。 其次，输出最高阶表达式。其次，输出最高阶表达式。 由于最高阶表达式是从由于最高阶表达式是从 0 0 位开始计算的，位开始计算的，所以，所以，在知道节点下标的基础上，在知道节点下标的基础上，每次以二维每次以二维数组两下标是否相等来输出相应的阶商，及数组两下标是否相等来输出相应的阶商，及 x x 的值与节点的起止下标输出相应的表达式。的值与节点的起止下标输出相应的表达式。 最后，根据输入的节点数计算其对应的函数值。最后，根据输入的

30、节点数计算其对应的函数值。 3 3 阶计算表达式，任意输入节点值，根据输入的节点值的大小判断其所在的范围，以输出表阶计算表达式，任意输入节点值，根据输入的节点值的大小判断其所在的范围，以输出表达式同样的思想计算节点对应的函数值。达式同样的思想计算节点对应的函数值。最高阶表达式，最高阶表达式， 亦是通过循环计算获得相应的函数亦是通过循环计算获得相应的函数值。值。 3 3、牛顿插值法基本思路与计算步骤：、牛顿插值法基本思路与计算步骤： 给定插值点序列（给定插值点序列（) )( (, ,i ii ix xf fx x, , , , 1 1 , , 0 0, ,n ni iLLLL= =。构造牛顿插值

31、多项式。构造牛顿插值多项式) )( (u uN Nn n。输入要计算。输入要计算的函数点的函数点, , x x并计算并计算) )( (x xN Nn n的值，利用牛顿插值公式，当增加一个节点时，只需在后面多计的值，利用牛顿插值公式，当增加一个节点时，只需在后面多计算一项，而前面的计算仍有用；另一方面算一项，而前面的计算仍有用；另一方面) )( (x xN Nn n的各项系数恰好又是各阶均差，而各阶均的各项系数恰好又是各阶均差，而各阶均差可用均差公式来计算。差可用均差公式来计算。 为为 的的 一阶均差。一阶均差。 为为 的的 k k 阶均差。阶均差。 均差表：均差表： 零阶均差零阶均差 一阶均差

32、一阶均差 二阶均差二阶均差 三阶均差三阶均差 X0 X0 f(X0) f(X0) X1 X1 f(X1) f(X1) fX0, X1 fX0, X1 X2 X2 f(X2) f(X2) fX1, X2 fX1, X2 fX0,X1, X2 fX0,X1, X2 X3 X3 f(X3) f(X3) fX2, X3 fX2, X3 fX1, X2,X3 fX1, X2,X3 fX0,X1, X2 X3 fX0,X1, X2 X3 M M M M M M M M M M 牛顿插值法计算步骤：牛顿插值法计算步骤： （1 1）输入）输入n n值及（值及（) )( (, ,i ii ix xf fx x,

33、 , , , 1 1 , , 0 0, ,n ni iLLLL= =；要计算的函数点；要计算的函数点x x。 （2 2）对给定的）对给定的, , x x由由 k kx x9/17/2019数值分析论文（作业） - 百度文库https:/ -8-8- 0 00 00 01 10 01 10 01 12 20 01 11 10 01 1( ( ) )( () )( () ), ,( ()( )() ), , ,( () )( () )( () ), , ,n nn nn nN Nx xf f x xx xx xf f x x x xx xx xx xx xf f x x x x x xx xx x

34、x xx xx xx xf f x x x xx x- -= =+ +- -+ +- - -+ + +- - - - 计算计算( ( ) )n nN Nx x的值。的值。 （3 3）输出）输出( ( ) )n nN Nx x。 建立建立 M M 文件：文件： functionc, d=newpoly(x, y) functionc, d=newpoly(x, y) % %牛顿插值的牛顿插值的 MATLABMATLAB 实现实现 % %这里这里 x x 为为 n n 个节点的横坐标所组成的向量，个节点的横坐标所组成的向量，y y 为纵坐标所组成的向量。为纵坐标所组成的向量。 %c %c 为所求的

35、牛顿插值多项式的系数构成的向量。为所求的牛顿插值多项式的系数构成的向量。 n=length(x);%n=length(x);%取取 x x 的个数。的个数。 d=zeros(n, n);%d=zeros(n, n);%构造构造 nXnnXn 的空数组。的空数组。 d(: , 1)=y; d(: , 1)=y; for j=2 : n for j=2 : n for k=j : n for k=j : n d(k, j)=(d(k, j-1) - d(k-1, j-1) / (x(k)-x(k-j+1); d(k, j)=(d(k, j-1) - d(k-1, j-1) / (x(k)-x(k-

36、j+1); end end end end c =d(n, n); c =d(n, n); for k=(n-1) : - 1 : 1 for k=(n-1) : - 1 : 1 c =conv(c, poly(x(k);% conv c =conv(c, poly(x(k);% conv 求积，求积，poly(x)poly(x)将该多项式的系数赋给向量。将该多项式的系数赋给向量。 m=length(c); m=length(c); c(m)=c(m)+d(k, k); c(m)=c(m)+d(k, k); end end （4 4）测试数据与结果：）测试数据与结果： 测试数据：测试数据： （

37、第三章习题第三题第（第三章习题第三题第 2 2 题）题） f(x)=lnxf(x)=lnx 的数值如表所示，的数值如表所示， 构造牛顿插值多项式并求构造牛顿插值多项式并求 ln0.53ln0.53 的值。的值。 X X 0.4 0.4 0.5 0.5 0.6 0.6 0.7 0.7 0.8 0.8 lnx lnx -0.916291 -0.916291 -0.693147 -0.693147 -0.510826 -0.510826 -0.357765 -0.357765 -0.223144 -0.223144 解：解： 由表可知由表可知 x0=0.4, x1=0.5, x2=0.6, x3=0

38、.7, x4=0.7x0=0.4, x1=0.5, x2=0.6, x3=0.7, x4=0.7，函数值：，函数值： Y0=-0.916291, y1=-0.693147, y2=-0.510826, y3=-0.357765, y4=-0.223144 Y0=-0.916291, y1=-0.693147, y2=-0.510826, y3=-0.357765, y4=-0.223144 建立一个主程序建立一个主程序 np.m np.m clc clc clear clear newpoly(0.4,0.5,0.6,0.7,0.8, newpoly(0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,

39、-0.916291, -0.916291, -0.693147, -0.693147, -0.510826, -0.510826, -0.357765, -0.357765, -0.223144) -0.223144) 计算结果如下：计算结果如下： ans = ans = -0.3096 2.6083 -5.4861 5.6921 -2.4744 -0.3096 2.6083 -5.4861 5.6921 -2.4744 由此看出所求的牛顿多项式为：由此看出所求的牛顿多项式为： P(x)= -0.3096x4+2.6083x3-5.4861x2+5.6921x-2.4744 P(x)= -0.

40、3096x4+2.6083x3-5.4861x2+5.6921x-2.4744 9/17/2019数值分析论文（作业） - 百度文库https:/ -9-9-P(0.53)= -0.6347P(0.53)= -0.6347。 2.2.误差分析误差分析 依据依据 f f（x x）数据表构造出来它的插值函数）数据表构造出来它的插值函数 P P（x x）, ,然后，在给定点然后，在给定点 x x 计计算算 P P（x x）的值作为）的值作为 f f（x x）的近似值，这一过程称插值。所谓“插值”，通俗）的近似值，这一过程称插值。所谓“插值”，通俗地说，就是依据地说，就是依据 f f（x x）所给的函

41、数表“插出”所要的函数值。由于插值函数）所给的函数表“插出”所要的函数值。由于插值函数 P P（x x）通常只是近似地刻划了原来的函数）通常只是近似地刻划了原来的函数 f f（x x），在插值点），在插值点 x x 处计算处计算 P(x)P(x)作为作为f f（x x）的函数值，一般地说总有误差，称）的函数值，一般地说总有误差，称 R(x)= fR(x)= f（x x）-P(x)-P(x)为插值函数的截为插值函数的截断误差，或称插值余项。用简单的插值函数断误差，或称插值余项。用简单的插值函数 P(x)P(x)来替代很复杂的的函数来替代很复杂的的函数 f(x)f(x)，这种做法究竟是否有效，要看

42、截断误差是否满足所要求的精度。取这种做法究竟是否有效，要看截断误差是否满足所要求的精度。取 n+1n+1 个节点个节点进行插值时，插值多项式是唯一的，即此时拉格朗日插值多项式和牛顿插值多进行插值时，插值多项式是唯一的，即此时拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式是相等的，因此其余项也相等。项式是相等的，因此其余项也相等。 三、参考文献三、参考文献 http:/ http:/ 数值分析全程导学及习题全解（第四版）中国时代经济出版社数值分析全程导学及习题全解（第四版）中国时代经济出版社 数值分析（韩旭里）中南大学出版社数值分析（韩旭里）中南大学出版社 ISBNISBN：97878106160899787810616089MATLABMATLAB 数值分析与应用（张德丰数值分析与应用（张德丰 ）国防工业出版社）国防工业出版社 9/17/2019数值分析论文（作业） - 百度文库https:/