高考数学总复习：命题及其关系充分条件与必要条件.pdf

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1、 第二讲第二讲 命题及其关系命题及其关系 充分条件与充分条件与必要条件必要条件 微信/（QQ）：488903221 咨询热线：18435636467 回归课本回归课本 1.命题命题 (1)一般地一般地,我们把用我们把用语言语言 符号符号或或式子式子表达的表达的,可以判断真假可以判断真假的的陈述句陈述句叫命题叫命题,其中判断为其中判断为真真的语句叫的语句叫真命题真命题,判断为判断为假假的语句叫的语句叫假命题假命题. (2)“若若p则则q”是数学中常见的命题形式是数学中常见的命题形式,其中其中p叫做命题的叫做命题的条件条件,q叫做命题的叫做命题的结论结论. (3)若原命题为若原命题为“若若p则则q

2、”,则它的逆命题为则它的逆命题为若若q则则p,它的否它的否命题为命题为若若 p则则 q,它的逆否命题为它的逆否命题为若若 q则则 p. (4)互为逆否的命题是互为逆否的命题是等价的等价的,它们同真同假它们同真同假,在同一个命题的在同一个命题的四种命题中四种命题中,真命题的个数可能为真命题的个数可能为0 2 4个个. (5)否命题与命题的否定的区别否命题与命题的否定的区别: 首先首先,只有只有“若若p则则q”形式的命题才有否命题形式的命题才有否命题,其形式为其形式为“若若 p则则 q.”其他形式的命题只有其他形式的命题只有“否定否定”,而没有否命而没有否命题题,其次其次,命题的否定与原命题一真一

3、假命题的否定与原命题一真一假,而而“若若p则则q”形式形式的命题的否命题与原命题的真假可能相同也可能相反的命题的否命题与原命题的真假可能相同也可能相反. 2.充要条件充要条件 (1)“若若p则则q”为真命题是指为真命题是指由由p通过推理可以得出通过推理可以得出q,这时我这时我们就说由们就说由p可以推出可以推出q,记作记作p q,并说并说p是是q的的充分充分条件条件,q是是p的的必要必要条件条件. (2)若既有若既有p q又由又由q p,则则p是是q的的充分必要充分必要条件条件,记作记作p q. (3)从集合的角度认识充分条件从集合的角度认识充分条件 必要条件必要条件. 设设A B为两个集合为两

4、个集合,A=x|p(x),B=x|q(x) 则若则若AB,则则p是是q的充分条件的充分条件,q是是p的必要条件的必要条件; 若若B A,则则p是是q的必要条件的必要条件; 若若A=B,则则p是是q的充要条件的充要条件. ( ); 4qppqpqqp“” “” “” “”.3.反证法证明命题的一般步骤反证法证明命题的一般步骤 (1)否定结论否定结论,(2)从假设出发从假设出发,经过推理论证得出矛盾经过推理论证得出矛盾,(3)断定断定假设错误假设错误,肯定结论成立肯定结论成立. 反证法属于间接证法反证法属于间接证法,当证明一个结论成立当证明一个结论成立,已知条件较少已知条件较少,或或结论的情况较多

5、结论的情况较多,或结论是以否定形式出现或结论是以否定形式出现,如某些结论中如某些结论中含有含有“至多至多” “至少至少” “惟一惟一” “不可能不可能” “不都不都”等指示性词语时往往考虑采用反证法证明结论成立等指示性词语时往往考虑采用反证法证明结论成立. 考点陪练考点陪练 1.pq,rq,A. prB. rpC. prD.pr 若 是 的充分条件 是 的必要条件 则: pq,pq,qp.rq,qr,rq,qp,rp,B. 解析是 的充分条件是 的必要条件又选答案答案:B 2.“m2”是是“方程方程x2-mx+m+3=0的两根都大于的两根都大于1”的的( ) A.充分不必要条件充分不必要条件

6、B.必要不充分条件必要不充分条件 C.充要条件充要条件 D.不充分不必要条件不充分不必要条件 1212122112212:x ,x ,0 xxm,x xm31,2,2,(1)1,.m2;0,:m4m 120;m6m1,3m,2;6.1xxxmxx xm 解析 设方程有两根则且又 即 解之得或 综上可知 (2)m2时时,取取m=3,此时方程为此时方程为x2-3x+6=0无实根无实根,即即m2不能不能推出推出x11且且x21. 由由(1)(2)知知m2是方程的两根都大于是方程的两根都大于1的必要不充分条件的必要不充分条件. 答案答案:B 3.(2010陕西陕西)对于数列对于数列an,“an+1|a

7、n|(n=1,2,)”是是“an为递增数列为递增数列”的的( ) A.必要不充分条件必要不充分条件 B.充分不必要条件充分不必要条件 C.充要条件充要条件 D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析解析:因为因为an+1|an|an+1anan为递增数列为递增数列,但但an为递增为递增数列数列an+1an推不出推不出an+1|an|,故故“an+1|an|(n=1,2,)”是是“an为递增数列为递增数列”的充分不必要条件的充分不必要条件,选选B. 答案答案:B 4.(2010山东山东)设设an是等比数列是等比数列,则则“a1a2a3”是是“数列数列an是递增数列是递增数列”的的( )

8、A.充分而不必要条件充分而不必要条件 B.必要而不充分条件必要而不充分条件 C.充分必要条件充分必要条件 D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析解析:由题可知由题可知,若若a1a20时时,解得解得q1,此时数列此时数列an是递增数列是递增数列,当当a10时时,解得解得0q1,此时数列此时数列an是递增数列是递增数列;反之反之,若数列若数列an是递增是递增数列数列,则则a1a2a3成立成立,所以所以“a1a2b,则则a2b2”的逆否命题的逆否命题; (3)“若若x-3,则则x2+x-60”的否命题的否命题; (4)“若若ab是无理数是无理数,则则a b是无理数是无理数”的逆命题的逆命

9、题. 其中真命题的个数是其中真命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解解 (1)逆命题为逆命题为“若若x y互为相反数互为相反数,则则x+y=0”是真命题是真命题. (2)原命题为假原命题为假,其逆否命题为假其逆否命题为假. (3)否命题为否命题为“若若x-3,则则x2+x-60”,假如假如x=4-3,但但x2+x-6=140,故为假故为假. (4)逆命题逆命题“若若a b是无理数是无理数,则则ab也是无理数也是无理数”,假如假如 则则ab=2是有理数是有理数.故为假故为假. 2( 2) ,2,ab 答案答案 B 反思感悟反思感悟 判断一个命题为假命题判断一个命题为假命题,只需举

10、出一个反例只需举出一个反例,无需无需证明证明. 类型二类型二 四种命题及其关系四种命题及其关系 解题准备解题准备:互为逆否关系的命题是等价命题互为逆否关系的命题是等价命题:原命题与逆否命原命题与逆否命题同真同假题同真同假,逆命题与否命题同真同假逆命题与否命题同真同假.所以所以:当判断一个当判断一个命题的真假有困难时命题的真假有困难时,可以判断它的逆否命题的真假可以判断它的逆否命题的真假;原原命题命题 逆命题逆命题 否命题否命题 逆否命题这四个命题中真命题的个逆否命题这四个命题中真命题的个数可能是数可能是0个个 2个个 4个个. 【典例典例2】 分别写出下列命题的逆命题分别写出下列命题的逆命题

11、否命题否命题 逆否命题逆否命题 命题的否定命题的否定,并判断它们的真假并判断它们的真假: (1)若若q1,则方程则方程x2+2x+q=0有实根有实根; (2)若若xy=0,则则x=0或或y=0; (3)若若x2+y2=0,则则x、y全为全为0. 解解 (1)原命题是真命题原命题是真命题; 逆命题逆命题:若方程若方程x2+2x+q=0有实根有实根,则则q1,为真命题为真命题; 否命题否命题:若若q1,则方程则方程x2+2x+q=0无实根无实根,为真命题为真命题; 逆否命题逆否命题:若方程若方程x2+2x+q=0无实根无实根,则则q1,为真命题为真命题; 命题的否定命题的否定:若若q1,则方程则方

12、程x2+2x+q=0无实根无实根,为假命题为假命题. (2)原命题为真命题原命题为真命题; 逆命题逆命题:若若x=0或或y=0,则则xy=0,是真命题是真命题; 否命题否命题:若若xy0,则则x0且且y0,是真命题是真命题; 逆否命题逆否命题:若若x0且且y0,则则xy0,是真命题是真命题; 命题的否定命题的否定:若若xy=0,则则x0且且y0,是假命题是假命题. (3)原命题为真命题原命题为真命题. 逆命题逆命题:若若x、y全为全为0,则则x2+y2=0,为真命题为真命题; 否命题否命题:若若x2+y20,则则x、y不全为不全为0,为真命题为真命题; 逆否命题逆否命题:若若x、y不全为不全为

13、0,则则x2+y20,为真命题为真命题; 命题的否定命题的否定:若若x2+y2=0,则则x、y不全为不全为0,是假命题是假命题. 反思感悟反思感悟 (1)注意注意:“都是都是”的否定是的否定是“不都是不都是”,而不是而不是“都都不是不是”,因为因为“x、y不都是奇数不都是奇数”包含包含“x是奇数是奇数y不是奇数不是奇数” “x不是奇数不是奇数y是奇数是奇数” “x、y都不是奇数都不是奇数”三种情况三种情况;“x=0或或y=0”的否定是的否定是“x0且且y0”,而不是而不是“x0或或y0”,因为因为“x=0或或y=0”包含包含“x=0且且y0”、“x0且且y=0” “x=0且且y=0”三种情况三

14、种情况. (2)要注意区别要注意区别“否命题否命题”与与“命题的否定命题的否定”:否命题要对命题的否命题要对命题的条件和结论都否定条件和结论都否定,而命题的否定仅对命题的结论否定而命题的否定仅对命题的结论否定. 类型三类型三 充分必要条件的判定与证明充分必要条件的判定与证明 解题准备解题准备:判断一个命题是另一个命题的什么条件判断一个命题是另一个命题的什么条件,关键是利关键是利用定义用定义:如果如果pq,则则p叫做叫做q的充分条件的充分条件,原命题原命题(或逆否命或逆否命题题)成立成立,命题中的条件是充分的命题中的条件是充分的,也可称也可称q是是p的必要条件的必要条件;如果如果qp,则则p叫做

15、叫做q的必要条件的必要条件,逆命题逆命题(或否命题或否命题)成立成立,命命题中的条件为必要的题中的条件为必要的,也可称也可称q是是p的充分条件的充分条件;如果既有如果既有pq,又有又有qp,记作记作pq,则则p叫做叫做q的充分必要条件的充分必要条件,简称简称充要条件充要条件,原命题和逆命题原命题和逆命题(或逆否命题和否命题或逆否命题和否命题)都成立都成立,命题中的条件是充要的命题中的条件是充要的. 【典例典例3】 求证方程求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个负实数根的有且只有一个负实数根的充要条件是充要条件是a0或或a=1. 思路点拨思路点拨 首先应从充分性和必要性两个方面进行证明首先应从

16、充分性和必要性两个方面进行证明,其其次要注意对参数次要注意对参数a的分类讨论的分类讨论. 证明证明 充分性充分性: 当当a=0时时,方程变为方程变为2x+1=0,其根为其根为x=- ,方程只有一负根方程只有一负根. 当当a=1时时,方程为方程为x2+2x+1=0,其根为其根为x=-1. 方程只有一负根方程只有一负根. 当当a0,方程有两个不相等的根方程有两个不相等的根,且且 ,方程有一正一负根方程有一正一负根. 10a 必要性必要性: 若方程若方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根有且仅有一负根. 当当a=0时时,适合条件适合条件. 当当a0时时,方程方程ax2+2x+1=0有实根有实根, 则

17、则=4-4a0,a1, 当当a=1时时,方程有一负根方程有一负根x=-1. 若方程有且仅有一负根若方程有且仅有一负根, 综上方程综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负实数根的充要条件为有且仅有一负实数根的充要条件为a0或或a=1. a0.1,10aa则 反思感悟反思感悟 (1)这类证明问题需要证明充分性和必要性两个这类证明问题需要证明充分性和必要性两个方面方面,因此应分清条件和结论因此应分清条件和结论,由条件证明结论成立是充分由条件证明结论成立是充分性性,由结论证明条件成立是必要性由结论证明条件成立是必要性,不能将二者混淆不能将二者混淆;(2)涉及涉及一元二次方程根的问题一元二次方程根的问题

18、,主要利用根的判别式进行求解主要利用根的判别式进行求解,同同时不能忘记对时不能忘记对x2项系数的分类讨论项系数的分类讨论. 探究探究 是否存在实数是否存在实数p,使使“4x+p0”的充的充分条件分条件?如果存在如果存在,求出求出p的取值范围的取值范围. 分析分析 “4x+p0”是结论是结论,先解出这两先解出这两个不等式个不等式,再探求符合条件的再探求符合条件的p的范围的范围. 222 xx20 x2x1,4xp0 xxx2x1,1,p4,p4,1x1xx20,p4, 4xp0 xx20.4444.pppp 解的解是或由得要想使时或成立 必须有即 所以当 时所以 时“”是“”的充分条件 反思感悟

19、反思感悟 本题用集合的包含关系去理解更容易解答本题用集合的包含关系去理解更容易解答,注意注意结合数轴确定结合数轴确定p的范围的范围. 错源一错源一 判断充分必要条件时不注意设问方式判断充分必要条件时不注意设问方式 【典例典例1】 使不等式使不等式2x2-5x-30成立的一个充分不必要条件成立的一个充分不必要条件是是( ) A.x0 B.x2 C.x-1,3,5 D.x- 或或x3 错解错解 由由2x2-5x-30得得x3或或x- ,当当x3或或x - 时能推出时能推出B选项选项, 但当但当B选项成立时选项成立时,不一定能推出不一定能推出x3或或x - ,所以选所以选B. 剖析剖析 本题错误在于

20、没有弄清楚问题的设问方式本题错误在于没有弄清楚问题的设问方式,混淆了条混淆了条件和结论而导致的件和结论而导致的.正确的理解是所选选项是正确的理解是所选选项是2x2-5x-30成立的充分不必要条件成立的充分不必要条件. 正解正解 依题意所选选项能使不等式依题意所选选项能使不等式2x2-5x-30成立成立,但当不但当不等式等式2x2-5x-30成立时成立时,却不一定能推出所选选项却不一定能推出所选选项.由于不由于不等式等式2x2-5x-30的解为的解为:x3或或x- ,所以应选所以应选C. 答案答案 C 错源二错源二 四种命题的结构不明致误四种命题的结构不明致误 【典例典例2】 写出命题写出命题“

21、若若a,b都是偶数都是偶数,则则a+b是偶数是偶数”的逆的逆命题命题,否命题否命题,逆否命题逆否命题,并判断它们的真假并判断它们的真假. 剖析剖析 解本题易出现的错误有两个解本题易出现的错误有两个:一是对一个命题的逆命一是对一个命题的逆命题题 否命题否命题 逆否命题的结构认识模糊出错逆否命题的结构认识模糊出错;二是在否定一二是在否定一个结论时出错个结论时出错,如对如对“a,b都是偶数都是偶数”的否定应该是的否定应该是“a,b不都是偶数不都是偶数”,而不应该是而不应该是“a,b都是奇数都是奇数”. 正解正解 逆命题逆命题:“若若a+b是偶数是偶数,则则a,b都是偶数都是偶数.”它是假命它是假命题

22、题; 否命题否命题:“若若a,b不都是偶数不都是偶数,则则a+b不是偶数不是偶数.”它是假命题它是假命题; 逆否命题逆否命题:“若若a+b不是偶数不是偶数,则则a,b不都是偶数不都是偶数.”它是真命题它是真命题. 评析评析四种命题的结构与等价关系四种命题的结构与等价关系 如果原命题是如果原命题是“若若A,则则B”,则这个命题的逆命题是则这个命题的逆命题是“若若B,则则A”,否命题是否命题是“若若A,则则B”,逆否命题是逆否命题是“若若B,则则A”.这里面有两组等价的命题这里面有两组等价的命题,即即“原命题和它的逆否命题等原命题和它的逆否命题等价价,否命题与逆命题等价否命题与逆命题等价”.在解答

23、由一个命题写出该命题在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时的其他形式的命题时,一定要明确四种命题的结构以及它一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系们之间的等价关系. 技法一技法一 等价命题转化法等价命题转化法 【典例典例1】 若若p:x+y3,q:x1或或y2.则则p是是q的什么条件的什么条件? 解解 直接判断原命题直接判断原命题“若若p,则则q”的真假比较难的真假比较难,但它的逆否但它的逆否命题即命题即“若若x=1且且y=2,则则x+y=3”显然为真显然为真,故原命题也为故原命题也为真真,即即pq. 逆命题的真假较难判断逆命题的真假较难判断,但它的等价命题否命题但它的等价命题否

24、命题“若若x+y=3,则则x=1且且y=2”显然为假显然为假,故逆命题也为假故逆命题也为假,即即qp.所以所以p是是q的充分不必要条件的充分不必要条件. 方法与技巧方法与技巧 当所给命题的充要条件不好判定时当所给命题的充要条件不好判定时,可利用四可利用四种命题的关系种命题的关系,对命题进行等价转换对命题进行等价转换.常利用常利用“原命题原命题逆逆否命题否命题”,“否命题否命题逆命题逆命题”.一些否定形式的命题常用一些否定形式的命题常用这种方法判定这种方法判定. 技法二技法二 快速解题快速解题(列表法列表法) 【典例典例2】 有有6名歌手进入决赛的电视歌曲大奖赛名歌手进入决赛的电视歌曲大奖赛,组

25、委会只组委会只设一名特别奖设一名特别奖.赛前观众赛前观众A猜猜:不是不是1号就是号就是2号能获特别号能获特别奖奖;B猜猜:3号不可能获特别获号不可能获特别获:C猜猜:4 5 6号都不可能获特别号都不可能获特别奖奖;D猜猜;能获特别奖的是能获特别奖的是4 5 6号中的一个号中的一个,赛后结果表明赛后结果表明,四人中只有一人猜对了四人中只有一人猜对了.问问:谁猜对了谁猜对了?几号歌手获特别奖几号歌手获特别奖? 快解快解 将所猜能获奖的记为将所猜能获奖的记为,不能获奖记为不能获奖记为,由题意得下由题意得下表表: 歌手歌手 观众观众 1 2 3 4 5 6 A B C D 从表中可以看出从表中可以看出

26、,所猜所猜3号的结果只有一人猜对号的结果只有一人猜对,是是C猜对的猜对的,3号歌手得了特别奖号歌手得了特别奖. 解题切入点解题切入点 可由可由C D所猜入手所猜入手.这两人所猜是对立的这两人所猜是对立的,但但D与与B不能都对不能都对,因此因此,可以可以C猜对为前提进行推证猜对为前提进行推证. 分析思维过程分析思维过程 可以明显看出可以明显看出C D所猜是对立的所猜是对立的.若若C猜对了猜对了,则则B D都没猜对都没猜对.再看再看A,A猜猜1号或号或2号号,因为只有一个猜对因为只有一个猜对,就不可能是就不可能是1号或号或2号号,只能是只能是3号号.如果是如果是3号获特别奖号获特别奖,那么那么A

27、B D都没有猜对都没有猜对,只有只有C猜对了猜对了. 解解 将将A B C D四人猜的结果分别记为命题四人猜的结果分别记为命题PA PB PC PD,则则PC与与PD必一真一假必一真一假.若若PD为真为真,则则PB也真也真,不合题意不合题意,则则PC应为真应为真.由题意由题意,则则PA必为假必为假.当当PA假时假时,只有只有3号能获特别奖号能获特别奖.此时再看此时再看PA PB PC PD四命题四命题,只有只有PC是真的是真的,符合题意符合题意.故故C猜对了猜对了,3号获得特别奖号获得特别奖. 得分主要步骤得分主要步骤 本题主要是入手抓住本题主要是入手抓住C D所猜结果对立所猜结果对立,必必有一人猜对有一人猜对.假设其中一人是对的假设其中一人是对的,若推下去不合题意若推下去不合题意,则另则另一人必对一人必对,于是思路清晰于是思路清晰,结果渐趋明朗结果渐趋明朗. 易丢分原因易丢分原因 如果切入点抓不准如果切入点抓不准,则解答起来很乱则解答起来很乱,无头绪无头绪,当当然花费时间也较多然花费时间也较多,也难以得分也难以得分.比较以上两种解法比较以上两种解法,前者显前者显然比后者优越得多然比后者优越得多.