《高等数学（II）》试题（2010.7）（答案）.pdf

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1、复旦大学数学科学学院 2009 2010 学年第二学期期末考试试卷 高等数学 A（下）试题答案 1（本题满分 48 分，每小题 8 分）（ 1） yz ze11 ， 3 2 )1( z z eeyx z ； （ 2） 10)0,0( f 为极大值；（ 3） 2643 ；（ 4） 2516a ；（ 5） 151 ；（ 6）收敛半径： 16R ，收敛域： )16,16( 。 2（本题满分 10 分） 解 椭球面在第一卦限上的点 ),( zyxP （ 0, zyx ）处的 切平面的方程为 0)()()( 222 zZczyYbyxXax ， 即 1222 czZbyYaxX ， 此平面在三个坐标轴的

2、截距分别为 xa2 ， yb 2 ， zc2 ，因此它与三个坐标平面所围 四面体的体积为 xyzcbaV 6 222 。 显然只要求出 V/1 的最大值，便能求出 V 的最小值。因此问题可以转化为求 目标函数 ),( zyxf xyz 在约束条件 1 2 2 2 2 2 2 czbyax 的最大值问题。 为此，作 Lagrange 函数 2222221),( czbyaxx y zzyxL ， 并令 .01 ,0 2 ,0 2 ,0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c z b y a x L c z xyL b y xzL a x yzL z y x 注意 0, zyx （此时 0 ）

3、，由方程组的第一、第二和第三式得 2 2 2 2 2 2 czbyax ， （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ） 代入第四式得 ax 33 ， by 33 ， cz 33 。 显然，这个驻点 必是 f 在约束条件下的 最大值点，其最大值为 a b ccbaf 9333,33,33 。 于是便得到 V 的最小值为 236 222 m i n abcxyzcbaV 。 3（本题满分 8 分） 解 添加线段 BA ： 0y ， 0: x 。设曲线 L 与 BA 所围区 域为 D ，则由 Green 公式得 .61)( c o s)(s in 3 0 )( 00 dxxxyddx d x d yy

4、d yxdxyy xx DBAL 且 .00c o s)( s in 0 dxy d yxdxyyBA 于是 .61c o s)(s in c o s)(s in 3 BAD L y d yxdxyyd x d y y d yxdxyy 4（本题满分 8 分） 解 直接计算得 rrD yxD ),( ),( ， sin),( ),( rD zyD ， cos),( ),( rD xzD ， 所以 22222 1),( ),(),( ),(),( ),( rrD xzDrD zyDrD yxDFEG 。 于是 .1223212 11 1 0 2 1 0 22 0 10 ,20 222 drrr

5、drrrdd r drrdSyx r 5（本题满分 10 分） 解 （ 1） 22)(2 000 dxee eedxxfa xx， 且对 ,2,1n ，有 00 c o s2c o s)(2 n x d xee een x d xxfa xxn 00 c o sc o s)( 2 n x d xen x d xeee xx . )1( )1(2 )c o ss i n( 1 )c o ss i n( 1)( 2 2 0 2 0 2 n nxnxn n enxnxn n e ee n xx 因此由收敛定理 )(xf nxn n n c o s 1)1(21 1 2 ， ,0 x 。 （ 2） 在

6、（ 1）的结果中令 2x 得 ee eenn n n 22 1 2 2 c o s1)1(21 ， 于是 21241 )1( 22 1 2 ee eenn n 。 6（本题满分 8 分） 解 由 Gauss 公式得 1 222222 2 2 2 2 2 2 )( czbyax d x d y d zzyxd x d yzxd z d xyzd y d zxy 。 作变换 aux ， bvy ， cwz 得 1 222222 1 222 222 2 2 2 2 2 2 )()( wvuczbyax d u d v d wwcvbuaa b cd x d y d zzyx 。 由对称性知 1212

7、12 222222222 wvuwvuwvu d u d v d wwd u d v d wvd u d v d wu ， 因此 .)( 15 4 s i n 3 )( 3 )( 2221 0 4 0 2 0 222 1 222 222 1 222222 222 222 cbadrrdd cba d u d v d wwvu cba d u d v d wwcvbua wvu wvu 于是 d x d yzxd zd xyzd y d zxy 222 )(154 222 cbaabc 。 7（本题满分 10 分）（ 1） 解 记 !)!12( 12 nxu n n 。对于每个 0x ，由于 0

8、32 |lim| |lim 21 nxuu nnnn ， 所以 0 12 !)!12(n n nx 收敛。因此幂级数 0 12 !)!12(n n nx 的收敛域为 ),( 。 （ 2） 证 对 0 12 !)!12()( n n nxxS 逐项求导得 )(1!)!12(1!)!12(1!)!12()( 0 12 1 2 0 12 xxS nxxnxnxxS n n n n n n 。 注意到 0)0( S ，所以 )(xS 是一阶线性方程 1 xSS 满足 0)0( S 的特解，因此 x txx s d st d t dteedteexS tx 0 220 2200)( ， ),( x 。 于是 x x x xSe lim)(lim 2 2 222 00 20 2 2 22 dxedtedte xtx t 。